O objetivo principal deste curso é o estudo formal e rigoroso dos conceitos básicos de análise real em uma variável, a saber: números naturais e indução matemática; o sistema de números reais; sequências e séries de números reais; elementos de topologia na reta; limites de funções e funções contínuas.
Sendo um dos primeiros cursos de matemática no currículo envolvendo definições e demonstrações formais, uma forte ênfase será colocada em como construir um argumento matemático a partir de elementos básicos (axiomas ou teoremas previamente estabelecidos) e em como apresentá-lo por escrito.
A matemática serve tanto como ferramenta quanto como linguagem universal do conhecimento humano. Este curso visa fornecer o lápis e o abecê para seus estudos futuros... e, como tal, é apropriado presumir que será desafiador e também gratificante.
Pré-requisitos
Noções básicas de cálculo, mas nenhum pré-requisito formal.
Professor
Nome:   Silvius Klein
Sala:       L749
Email:     silviusk [arroba] puc-rio [ponto] br
Aulas
Hora:     terças e quintas das 11 às 13
Sala:     L582
Horário de atendimento: depois de cada aula
Bibliografia
[Lima]   Elon Lages Lima, Curso de Análise Vol. 1, 15ª edição, IMPA, Coleção Projeto Euclides (Capítulos 1-7)
[Tao]   Terence Tao, Analysis I, Springer Singapore, Third Edition, 2015 (Capítulos 1-9)
Avaliação
Três provas escritas.
Datas das provas: 18 de setembro, 28 de outubro e 4 de dezembro.
Listas de exercícios para entregar durante o semestre.
Cálculo da nota final (critério 4): (G1+G2+G3)/3
Cada grau é calculado com base na prova escrita correspondente (80%) e nas listas de exercícios correspondentes (20%).
Monitoria
Monitor:     Pedro Budib
Email:     budibpedro [arroba] gmail [ponto] com
Horário e sala:     a combinar
Ementa do curso (sujeito a alterações)
- Teoria elementar dos conjuntos
- Conjuntos e operações entre conjuntos
- Funções
- Relações
- Números naturais
- Axiomas de Peano
- Adição e multiplicação
- Ordem, princípio da boa ordenação, segundo princípio da indução
- Conjuntos finitos e infinitos
- Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis
- Números inteiros
- A cardinalidade do conjunto de números inteiros
- Números racionais
- A definição dos número racionais
- Operações algébricas e relação de ordem
- Corpos e corpos ordenados
- Números reais
- Sequências de números racionais
- Supremos de conjuntos de números racionais
- Elementos da construção dos números reais como limites de sequências de Cauchy de números racionais
- Definição axiomática do sistema de números reais
- Existência e unicidade do sistema de números reais
- Sequências de números reais
- Definições básicas
- Limites e operações com limites
- Subsequências, o teorema de Bolzano-Weierstrass
- Sequências de Cauchy, o teorema de Cauchy
- Sequências não limitadas
- Séries de números reais, convergência, critérios de convergência
- Elementos de topologia na reta
- Conjuntos abertos e fechados
- Conjuntos compactos
- O conjunto de Cantor
- Limites e continuidade
- Limites de funções
- O conceito de função contínua; descontinuidades
- Funções contínuas em intervalos
- Funções contínuas em conjuntos compactos
- Continuidade uniforme