Introdução à Análise



O objetivo principal deste curso é o estudo formal e rigoroso dos conceitos básicos de análise real em uma variável, a saber: números naturais e indução matemática; o sistema de números reais; sequências e séries de números reais; elementos de topologia na reta; limites de funções e funções contínuas.

Sendo um dos primeiros cursos de matemática no currículo envolvendo definições e demonstrações formais, uma forte ênfase será colocada em como construir um argumento matemático a partir de elementos básicos (axiomas ou teoremas previamente estabelecidos) e em como apresentá-lo por escrito.

A matemática serve tanto como ferramenta quanto como linguagem universal do conhecimento humano. Este curso visa fornecer o lápis e o abecê para seus estudos futuros... e, como tal, é apropriado presumir que será desafiador e também gratificante.


Pré-requisitos

Noções básicas de cálculo, mas nenhum pré-requisito formal.


Professor

Nome:   Silvius Klein

Sala:       L749

Email:     silviusk [arroba] puc-rio [ponto] br


Aulas

Hora:     terças e quintas das 11 às 13

Sala:     L582

Horário de atendimento: depois de cada aula


Bibliografia

[Lima]   Elon Lages Lima, Curso de Análise Vol. 1, 15ª edição, IMPA, Coleção Projeto Euclides (Capítulos 1-7)

[Tao]   Terence Tao, Analysis I, Springer Singapore, Third Edition, 2015 (Capítulos 1-9)


Avaliação

Três provas escritas.

Datas das provas: 18 de setembro, 28 de outubro e 4 de dezembro.

Listas de exercícios para entregar durante o semestre.

Cálculo da nota final (critério 4): (G1+G2+G3)/3

Cada grau é calculado com base na prova escrita correspondente (80%) e nas listas de exercícios correspondentes (20%).


Monitoria

Monitor:     Pedro Budib

Email:     budibpedro [arroba] gmail [ponto] com

Horário e sala:     2ª às 15h na sala L454


Ementa do curso (sujeito a alterações)

  1. Teoria elementar dos conjuntos
    1. Conjuntos e operações entre conjuntos
    2. Funções
    3. Relações
  2. Números naturais
    1. Axiomas de Peano
    2. Adição e multiplicação
    3. Ordem, princípio da boa ordenação, segundo princípio da indução
    4. Conjuntos finitos e infinitos
    5. Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis
    6. Números inteiros
    7. A cardinalidade do conjunto de números inteiros
  3. Números racionais
    1. A definição dos número racionais
    2. Operações algébricas e relação de ordem
    3. Corpos e corpos ordenados
  4. Números reais
    1. Sequências de números racionais
    2. Supremos de conjuntos de números racionais
    3. Elementos da construção dos números reais como limites de sequências de Cauchy de números racionais
    4. Definição axiomática do sistema de números reais
    5. Existência e unicidade do sistema de números reais
  5. Sequências de números reais
    1. Definições básicas
    2. Limites e operações com limites
    3. Subsequências, o teorema de Bolzano-Weierstrass
    4. Sequências de Cauchy, o teorema de Cauchy
    5. Sequências não limitadas
    6. Séries de números reais, convergência, critérios de convergência
  6. Elementos de topologia na reta
    1. Conjuntos abertos e fechados
    2. Conjuntos compactos
    3. O conjunto de Cantor
  7. Limites e continuidade
    1. Limites de funções
    2. O conceito de função contínua; descontinuidades
    3. Funções contínuas em intervalos
    4. Funções contínuas em conjuntos compactos
    5. Continuidade uniforme