Análise Real



O objetivo principal deste curso é o estudo formal e rigoroso de conceitos e resultados fundamentais de análise real em uma variável, tais como: diferenciação, integração à Riemann, sequências e séries de funções.


Pré-requisitos

Introdução à análise.


Professor

Nome:   Silvius Klein

Sala:       L749

Email:     silviusk [arroba] puc-rio [ponto] br


Aulas

Hora:     segundas e quartas das 11 às 13

Sala:     L528

Horário de atendimento: depois de cada aula


Bibliografia

[Lima]   Elon Lages Lima, Curso de Análise Vol. 1, 15ª edição, IMPA, Coleção Projeto Euclides (Capítulos 8, 9 e 10)

[Pugh]   Charles C. Pugh, Real Mathematical Analysis, Springer, Undergraduate Texts in Mathematics (Capítulos 3 e 4)


Avaliação

Listas de exercícios para entregar durante o semestre.

Dois exames escritos (um no meio do semestre e o outro no final).

Datas: 29 de abril e 26 de junho.

Cálculo da nota final: critério 2, NF = (G1 + 2 * G2)/ 3, onde G1 = nota do primeiro exame escrito e G2 = nota do segundo exama escrito + listas de exerrcícios.


Ementa do curso (sujeito a alterações)

  1. Revisão de topologia da reta e continuidade de funções na reta
    1. Conjuntos abertos, conjuntos fechados, pontos de acumulação, conjuntos compactos
    2. Funções contínuas em intervalos e em conjuntos compactos, continuidade uniforme
    3. O teorema de aproximação de Weierstrass
  2. Diferenciação
    1. Definição e propriedades da derivada num ponto
    2. Funções deriváveis num intervalo, o teorema do valor médio
    3. Fórmula de Taylor
    4. Série de Taylor e funções analíticas
  3. Integral de Riemann
    1. Integral superior e integral inferior
    2. Funções integráveis
    3. O teorema fundamental do calculo
    4. Fórmulas clássicas de cálculo integral (mudança de variáveis, integração por partes)
    5. A integral como limite de somas de Riemann
    6. Caracterização das funções integráveis
    7. Logaritmos e exponenciais
  4. Sequência e séries de funções
    1. Convergência simples e convergência uniforme
    2. Propriedades da convergência uniforme
    3. Séries de potências
    4. Funções analíticas
    5. Equicontinuidade, o teorema de Ascoli-Arzelà
    6. Séries de Fourier