A disciplina tem por objetivo familiarizar os estudantes com tópicos clássicos de análise harmônica (tais quais: convergência de séries de Fourier, funções harmônicas, a transformada de Hilbert, a teoria de Calderón-Zygmund de integrais singulares, a teoria de Littlewood-Paley e aplicações clássicas destes conceitos). Neste sentido os alunos estarão aptos para o estudo de temas de pesquisa em análise harmônica, equações diferenciais parciais, teoria analítica dos números, sistemas dinâmicos, dentre outros.

Pré-requisitos

Introdução à análise de Fourier; Medida e integração; Variável complexa;

Professor

Nome:   Silvius Klein

Sala:       L749

Email:     silviusk [arroba] puc-rio [ponto] br

Aulas

Hora:     terças e quintas das 15 às 17

Sala:     L856

Bibliografia

[Duo]   Javier Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, Volume 29, 2000.

[M-S]   Camil Muscalu, Wilhelm Schlag, Classical and Multilinear Harmonic Analysis volume I, Cambridge University Press, 2013.

[Katz]   Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, 2004.

[Stein-W]   E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.

Avaliação

Seminários sobre tópicos do curso escolhidos pelo professor.

Tópicos principais do curso:

1. Convergência e somabilidade de séries de Fourier: núcleos de somabilidade, o Teorema de Fejèr, núcleo de Dirichlet, núcleo de Fejèr, convergência em L^p, relação entre a regularidade da função e o decaimento dos seus coeficientes de Fourier.
2. Funções harmônicas, o núcleo de Poisson, a função maximal de Hardy-Littlewood, convergência q.t.p. de séries de Fourier.
3. A transformada de Hilbert (no círculo unitário): espaços de Hardy, os teoremas de Riesz, a função conjugada harmônica, a transformada de Hilbert e suas propriedades, a convergência em L^p das séries de Fourier.
4. A transformada de Fourier no espaço euclidiano.
5. A teoria de integrais singulares de Calderón-Zygmund: nucleo de Calderón-Zygmund, a transformada de Hilbert, a transformada de Riesz, o espaço BMO.
6. Teoria de Littlewood-Paley: o teorema do multiplicador de Mikhlin; a estimativa função quadrada de Littlewood-Paley, decomposição de Calderón-Zygmund.
   Outros tópicos se o tempo permitir.