O objetivo principal deste curso é o estudo de alguns tópicos recentes de teoria ergódica sobre leis limites (i.e. o princípio de grandes desvios e o teorema do limite central) para alguns tipos de sistemas dinâmicos. A ferramenta principal neste estudo é a existência do hiato espectral do operador de transição de Markov ou do operador de transferência de Ruelle em um espaço apropriado de observáveis.

Pré-requisitos

Introdução aos Sistemas Dinâmicos; Teoria Ergódica; Análise Funcional; Teoria da Probabilidade I.

Professor

Nome:   Silvius Klein

Sala:       L749

Email:     silviusk [arroba] puc-rio [ponto] br

Aulas

Hora:     segundas e quartas das 17 às 19

Sala:     L454

O curso será ministrado em inglês.

Algumas notas de aula serão distribuídas ao longo do semestre.

Bibliografia

[BouLa]   Philippe Bougerol, Jean Lacroix, Products of random matrices with applications to Schrödinger operators, Birkhäuser 1985.

[CDK]   Ao Cai, Pedro Duarte, Silvius Klein, Statistical properties for mixing Markov processes with applications to dynamical systems, preprint 2022.

[DeKiLiv]   Mark Demers, Niloofar Kiamari, Carlangelo Liverani, Transfer operators in hyperbolic dynamics: an introduction, Colóquio Brasileiro de Matemática, Publicações Matemáticas do IMPA, 2021.

[DK-CBM]   Pedro Duarte, Silvius Klein, Continuity of the Lyapunov exponents of linear cocycles, 31º Colóquio Brasileiro de Matemática, Publicações Matemáticas do IMPA, 2017.

[DKP]   Pedro Duarte, Silvius Klein, Mauricio Poletti, Hölder continuity of the Lyapunov exponents of linear cocycles over hyperbolic maps, preprint 2021.

[Viana]   Marcelo Viana, Lectures on Lyapunov exponents, Cambridge University Press, 2014.

Avaliação

Seminários sobre tópicos do curso escolhidos pelo professor.

Tópicos principais do curso:

1. Leis limites para processos aleatórios aditivos
Neste capítulo introdutório revisamos alguns tópicos de probabilidades, como a lei dos grandes números, o princípio dos grandes desvios e o teorema do limite central para somas de variáveis aleatórias i.i.d. reais.


2. Sistemas dinâmicos estocásticos   [CDK]
Neste capítulo introduzimos o conceito de sistema dinâmico estocástico e o operador de Markov associado. Apresentamos um resultado recente do tipo estimativa de grandes desvios para sistemas de Markov fortemente misturadores e um teorema central do limite por Gordin e Lifshits no mesmo cenário. Esses conceitos e resultados abstratos serão aplicados para vários modelos concretos de sistemas dinâmicos.


3. Leis limites para processos aleatórios multiplicativos   [BouLa, DK-CBM]
Neste capítulo consideramos produtos de matrizes aleatórias i.i.d. Apresentamos os resultados análogos aos do primeiro capítulo para tais processos multiplicativos, ou seja o teorema de Furstenberg e Kesten e alguns teoremas de Le Page (sob hipóteses genéricas). Introduzimos e estudamos o operador de Markov correspondente a tais processos.


4. Leis limites para sistemas hiperbólicos   [DeKiLiv]
Neste capítulo estudamos o decaimento de correlações e leis limites para mapas uniformemente hiperbólicos. Trataremos em detalhes o exemplo mais simples de mapas suaves expansivos do círculo, por meio do operador de transferência.


5. Sistemas predominantemente hiperbólicos   [DeKiLiv]
Neste capítulo consideramos brevemente o mesmo problema para sistemas modelados por Young towers.


6. Sistemas parcialmente hiperbólicos, cociclos lineares   [Viana, DKP]
No capítulo final consideramos alguns possíveis tópicos atuais de pesquisa, como leis limites para sistemas mistos aleatórios e quase-periódicos ou cociclos lineares fiber bunched.