O segundo exame (09/12)

Horário:   das 14h às 17h

Tópicos: o material apresentado entre aula 15 e aula 29.

Aula extra (06/12 às 10h)

Revisão para o segundo exame.

Aula 30 (04/12)

Revisão para o segundo exame.

Aula 29 (02/12)

Exemplos de transformações conformes (continuação).

Aula 28 (27/11)

Exemplos de transformações conformes.

Aula 27 (25/11)

O teorema da aplicação de Riemann.

Aula 26 (13/11)

O teorema de Montel. O teorema de Hurwitz.

Aula 25 (11/11)

O lema de Schwarz. Automorfismos do disco unitário.

Aula 24 (06/11)

O teorema e a fórmula de Cauchy: versão global homológica, e versão para ciclos homólogos a zero. Consequências.

Aula 23 (04/11)

O teorema e a fórmula de Cauchy: versão global homotópica. Consequências.

Aula 22 (30/10)

Homotopias e regiões simplesmente conexas.

Aula 21 (28/10)

O princípio do argumento (continuação) e revisão da P1.

Aula 20 (23/10)

Funções meromorfas. O princípio do argumento. O teorema de Rouché. O teorema fundamental da álgebra. O teorema da função aberta.

Aula 19 (21/10)

Receitas de cálculo de alguns tipos de integrais reais (continuação).

O primeiro exame (17/10)

Horário:   das 15h às 18h

Tópicos: o material apresentado entre aula 1 e aula 14, ou seja, todos os tópicos até (incluindo) a classificação das singularidades, mas excluindo séries de Laurent e resíduos.

Aula 18 (16/10)

Revisão para o primeiro exame.

Aula 17 (09/10)

Aplicações do teorema dos resíduos no cálculo de algumas integrais impróprias.

Aula 16 (07/10)

Expansão em série de Laurent para funções holomorfas em anéis. Classificação das singularidades isoladas usando séries de Laurent. O teorema dos resíduos.

Aula 15 (02/10)

Séries de Laurent. Teorema do tipo Cauchy e fórmula do tipo Cauchy para funções holomorfas em um anel.

Aula 14 (30/09)

Classificação das singularidades isoladas. O teorema de Casorati-Weierstrass.

Aula 12 (23/09) e Aula 13 (25/09)

O princípio do módulo máximo. O teorema da função inversa e o teorema da função aberta. Ramos holomorfos do logaritmo complexo.

Aula 11 (18/09)

Zeros de uma função holomorfa. Continuação analítica. O princípio da simetria de Schwarz.

Aula 10 (16/09)

Avaliação de algumas integrais reais impróprias.

Aula 9 (11/09)

Outras consequências da fórmula integral de Cauchy (sequências e séries de funções holomorfas, famílias integráveis de funções holomorfas).

Aula 8 (09/09)

A fórmula de Cauchy local, consequências (holomorfia implica analiticidade, as desigualdades de Cauchy, o teorema de Liouville, o teorema fundamental da álgebra, o teorema de Morera-Pompeiu, o teorema de Weierstrass).

Aula 7 (04/09)

O teorema local de Cauchy: o resultado intermediário para triângulos; o teorema de Cauchy para domínios estrelados.   [Stein] Capítulo 2, seções 1, 2.

Aula 6 (28/08)

Integrais de linha. O índice (ou seja, o número de voltas) de um lacete em torno de um ponto: definição, interpretação geométrica, propriedades fundamentais.   [Gamelin] Capítulos IV.1, IV.2, VIII.6

Aula 5 (28/08)

Séries de funções. Séries de potências. Funções analíticas.   [Stein] Capítulo 1, seção 2.3 e [Gamelin] Capítulo II, seção 2

Aula 4 (26/08)

Ramos contínuos do argumento. Ramos contínuos (e holomorfos) do logaritmo e de funções potências.

Aula 3 (21/08)

Algumas funções complexas concretas: a função exponencial, funções trigonométricas, a função argumento, o logaritmo complexo (definição, propriedades básicas do valor principal do logaritmo).   [Gamelin] Capítulo I, seções 5, 6 e 8.

Aula 2 (19/08)

Introdução informal à teoria de Cauchy: os resultados principais da teoria num contexto mais simples; a prova do teorema de Cauchy (neste contexto) por meio do teorema de Stokes; a derivação da fórmula integral de Cauchy; a analiticidade de uma função holomorfa.

Funções holomorfas necessariamente são harmônicas; a existência da conjugada harmônica. .

Aula 1 (14/08)

Informações do curso

O plano complexo.

Funções de uma variável complexa: funções \(\mathbb{R}\)-diferenciáveis; as derivadas de Wirtinger e suas propriedades; funções holomorfas; equações de Cauchy-Riemann.

O milagre complexo: \(\mathbb{C}\)-diferenciabilidade implica analiticidade (por enquanto, só o enunciado do resultado).   [Stein] Capítulo 1, seções 1, 2.1 e 2.2