Introdução à análise de Fourier



A disciplina tem por objetivo familiarizar os estudantes com elementos básicos da análise de Fourier (tais quais séries de Fourier, tipos de convergência de séries de Fourier, a transformada de Fourier na reta e no espaço euclidiano e aplicações clássicas destes conceitos).

Neste sentido os alunos estarão aptos para o estudo de temas de pesquisa em análise harmônica, equações diferenciais parciais, sistemas dinâmicos, dentre outros.


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Pré-requisitos

Análise no espaço euclidiano, análise complexa (elementar), álgebra linear.

Ao apresentar a ementa sem exigir conhecimentos prévios em teoria da medida, o curso atende a estudantes em diversos estágios de formação, do bacharelado à pós-graduação.


Professor

Nome:   Silvius Klein

Sala:       L749

Email:     silviusk [arroba] puc-rio [ponto] br


Aulas

Hora:     segundas e quartas das 15 às 17, pelo Zoom


Horário de atendimento

Hora:     segundas e quartas das 17h00 às 17h30


Bibliografia

[Stein]   Elias M. Stein & Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis, vol I, Princeton University Press

[deFDG]   Djairo Guedes de Figueiredo, Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, IMPA, Coleção Projeto Euclides


Material de apoio

Loukas Grafakos, Classical Fourier analysis, Vol. 2. New York: Springer

Thomas William Körner, Fourier analysis, Cambridge University Press


Avaliação

Duas listas de exercícios para entregar durante o semestre.

Dois exames escritos (um no meio do semestre e o outro no final) seguidos por uma discussão com o professor. Datas: 5 de maio e 30 de junho.

Cálculo da nota final: 15% cada lista de exercícios, 35% cada exame.


Ementa do curso

  1. A gênese da análise de Fourier.
  2. Propriedades básicas das séries de Fourier: introdução aos problemas e exemplos; unicidade da série de Fourier; convoluções e suas propriedades; núcleos de somabilidade.
  3. Convergência das séries de Fourier: revisão de noções elementares de espaços vetoriais e produto interno; convergência no sentido quadrático-médio. Convergência pontual; um resultado local e um exemplo de função contínua com série de Fourier divergente.
  4. A transformada de Fourier na reta: definição da transformada de Fourier no espaço de funções de decrescimento moderado; o espaço de Schwartz; a fórmula de inversão de Fourier; o teorema de Plancherel; a fórmula de somabilidade de Poisson; o princípio da incerteza de Heisenberg; aplicações em EDP.