A disciplina tem por objetivo familiarizar os estudantes com elementos básicos da análise de Fourier (tais quais séries de Fourier, tipos de convergência de séries de Fourier, a transformada de Fourier na reta e no espaço euclidiano e aplicações clássicas destes conceitos).
Neste sentido os alunos estarão aptos para o estudo de temas de pesquisa em análise harmônica, equações diferenciais parciais, sistemas dinâmicos, dentre outros.
Pré-requisitos
Análise no espaço euclidiano, análise complexa (elementar), álgebra linear.
Ao apresentar a ementa sem exigir conhecimentos prévios em teoria da medida, o curso atende a estudantes em diversos estágios de formação, do bacharelado à pós-graduação.
Professor
Nome: Silvius Klein
Sala: L749
Email: silviusk [arroba] puc-rio [ponto] br
Aulas
Hora: segundas e quartas das 15 às 17, pelo Zoom
Horário de atendimento
Hora: segundas e quartas das 17h00 às 17h30
Bibliografia
[Stein] Elias M. Stein & Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis, vol I, Princeton University Press
[deFDG] Djairo Guedes de Figueiredo, Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, IMPA, Coleção Projeto Euclides
Material de apoio
Loukas Grafakos, Classical Fourier analysis, Vol. 2. New York: Springer
Thomas William Körner, Fourier analysis, Cambridge University Press
Avaliação
Duas listas de exercícios para entregar durante o semestre.
Dois exames escritos (um no meio do semestre e o outro no final) seguidos por uma discussão com o professor. Datas: 5 de maio e 30 de junho.
Cálculo da nota final: 15% cada lista de exercícios, 35% cada exame.
Ementa do curso
- A gênese da análise de Fourier.
- Propriedades básicas das séries de Fourier: introdução aos problemas e exemplos; unicidade da série de Fourier; convoluções e suas propriedades; núcleos de somabilidade.
- Convergência das séries de Fourier: revisão de noções elementares de espaços vetoriais e produto interno; convergência no sentido quadrático-médio. Convergência pontual; um resultado local e um exemplo de função contínua com série de Fourier divergente.
- A transformada de Fourier na reta: definição da transformada de Fourier no espaço de funções de decrescimento moderado; o espaço de Schwartz; a fórmula de inversão de Fourier; o teorema de Plancherel; a fórmula de somabilidade de Poisson; o princípio da incerteza de Heisenberg; aplicações em EDP.