Tópicos de Análise II

Teoria da Medida II



A disciplina tem por objetivo familiarizar os estudantes com tópicos mais avançados de teoria da medida, que não são normalmente lecionados num curso de medida e integração de um semestre.

O curso será útil para estudantes interessados em análise e EDP, teoria ergódica e até mesmo teoria da probabilidade, além de ser um curso de cultura geral e, portanto, interessante para qualquer aluno de pós graduação com suficiente maturidade matemática.


Pré-requisitos

MAT2621 Medida e integração.

MAT2304 (Teoria da Probabilidade I) e MAT2622 (Análise Funcional) são muito úteis, mas não completamente obrigatórios.


Professor

Nome:   Silvius Klein

Sala:       L749

Email:     silviusk [arroba] puc-rio [ponto] br


Aulas

Hora:     terças e quintas das 11 às 13

Sala:     L856


Bibliografia

[Duo]   Javier Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, Volume 29, 2000.

[M-S]   Camil Muscalu, Wilhelm Schlag, Classical and Multilinear Harmonic Analysis volume I, Cambridge University Press, 2013.

[Katz]   Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, 2004.

[Stein-W]   E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.


Avaliação

Listas de exercícios, valendo 60% da nota final.

Um exame escrito no final do semestre, valendo 40% da nota final.


Tópicos principais do curso:

    1. Medidas com sinal. O teorema de decomposição de Hahn, o teorema de decomposição de Jordan.
    2. Os teoremas de Lebesgue, Radon e Nikodym, aplicações.
    3. Medidas de Radon. O teorema de representação de Riesz-Markov.
    4. O espaço de medidas de probabilidades. A distância de Wasserstein e suas propriedades.
    5. A função maximal de Hardy-Littlewood. O teorema de diferenciação de Lebesgue. Pontos de densidade de Lebesgue; conjunto de Lebesgue de uma função localmente integrável.
    6. O teorema fundamental do cálculo (parte 2) para a integral de Lebesgue.
    7. Medida e dimensão de Hausdorff.
    8. Medida de Haar.
    9. O teorema ergódico via funções maximais* (opcional e sujeito à disponibilidade de tempo),