Medida e Integração



O objetivo principal deste curso é o estudo da medida de Lebesgue e da integral de Lebesgue. A integração de Lebesgue é um refinamento da teoria da integração de Riemann, proporcionando uma ferramenta mais fina para a matemática avançada.

O curso também oferece uma base sólida para o estudo de temas de pesquisa em sistemas dinâmicos, probabilidades, análise de Fourier, EDP, dentre outros.


circle packing

A imagem acima é uma representação razoavelmente precisa das técnicas e tópicos de estudo neste curso. Para tornar a representação ainda mais precisa, aumente a resolução (escolhendo quadrados menores).

Pré-requisitos

Análise real e análise no espaço \(\mathbb{R}^n\).


Professor

Nome:   Silvius Klein

Sala:       L749

Email:     silviusk [arroba] puc-rio [ponto] br


Aulas

Horário:     terças e quintas das 11h às 13h

Local:     L863

Horário de atendimento:     depois de cada aula


Bibliografia

[Tao-book]   Terence Tao, An introduction to measure theory, AMS, Graduate Studies in Mathematics.

[Tao-blogLRN]   Terence Tao, artigo deste blog.

[Tao-blogRMK]   Terence Tao, artigo deste blog.

[Stein]   Elias M. Stein & Rami Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton Lectures in Analysis, vol III, Princeton University Press.


Avaliação

Listas de exercícios para entregar durante o semestre.

Dois exames escritos (um no meio do semestre e o outro no final).

Datas: 10 de outubro e 10 de dezembro.

Cálculo da nota final: 30% listas de exercícios, 35% cada exame.


Ementa do curso (sujeito a alterações)

  1. A teoria de Jordan-Riemann-Darboux     [Tao-book] 1.1
    1. O problema de mensurabilidade
    2. Medida elementar
    3. Medida de Jordan
    4. A integral de Riemann-Darboux
  2. A medida de Lebesgue     [Tao-book] 1.2
    1. A medida externa de Lebesgue: definição, exemplos, o truque \(\frac{\epsilon}{2^n}\)
    2. Conjuntos Lebesgue mensuráveis: definição via o primeiro princípio de Littlewood
    3. Propriedades da medida externa de Lebesgue
    4. Propriedades dos conjuntos Lebesgue mensuráveis
    5. O critério de mensurabilidade de Carathéodory
    6. Unicidade da medida de Lebesgue
    7. Exemplo de um conjunto não mensurável
  3. A integral de Lebesgue     [Tao-book] 1.3
    1. Uma prévia da integral de Lebesgue
    2. Integração de funções simples
    3. Funções mensuráveis
    4. A integral de Lebesgue de funções mensuráveis não-negativas (integralsem sinal) e integrabilidade absoluta
    5. Propriedades básicas da integral sem sinal: interpretação de área, linearidade e unicidade da integral de Lebesgue, compatibilidade com a integral de Riemann-Darboux
    6. Integrabilidade absoluta, os espaços \(L^p\), a desigualdade de Markov
    7. O segundo princípio de Littlewood (o teorema de Lusin) e o terceiro princípio de Littlewood (o teorema de Egorov)
  4. Espaços de medida abstratos     [Tao-book] 1.4 e 1.5
    1. \(\sigma\)-álgebras e espaços mensuráveis
    2. Medidas abstratas
    3. Funções mensuráveis
    4. A integral de uma função mensurável num espaço de medida abstrato
    5. Os teoremas de convergência: convergência monótona, o teorema de Tonelli, o lema de Borel-Cantelli, o lema de Fatou, o teorema de convergência dominada
    6. Modos de convergência
    7. Os espaços \(L^p\)
    8. O teorema de Radon-Nikodym; o teorema de decomposição de Lebesgue para medidas     [Tao-blogLRN]
    9. O teorema de representação de Riesz–Markov–Kakutani (enunciado)     [Tao-blogRMK]
  5. Construção abstrata de medidas, exemplos importantes     [Tao-book] 1.7
    1. Medidas externas e o teorema de extensão de Carathéodory
    2. Pré-medidas e o teorema de extensão de Kolmogorov
    3. A medida de Lebesgue-Stieljes
    4. A medida produto